Açık gönderim teoremi, karmaşık analizde sabit olmayan holomorf fonksiyonların açık kümeleri açık kümelere gönderdiğini söyler. Ω, karmaşık düzlemde bağlantılı açık bir küme ve f:Ω→ℂ sabit olmayan holomorf bir fonksiyon olsun. Teoreme göre Ω içindeki her açık U kümesi için f(U) de açıktır. Dolayısıyla f(Ω), boş olmayan bir bölgeyse, yine açık bir kümedir. [1][2]
Teoremin açıklaması
Bir noktada f'nin türevi sıfırdan farklıysa ters fonksiyon teoremi, o noktanın yakınında f'nin açık kümeleri açık kümelere göndermesini açıklamaya yardımcı olur. Ancak açık gönderim teoremi, türevin sıfır olduğu noktaları da kapsar. Sabit olmayan holomorf bir fonksiyonun bir noktadaki sıfırı yalıtılmıştır; yerel kuvvet serisi, f(z)-f(a) ifadesinin (z-a)^m biçiminde bir çarpan içerdiğini gösterir. Burada m pozitif bir tam sayı, çarpanın diğer kısmı ise a noktasında sıfır olmayan holomorf bir fonksiyondur. Bu yapı da görüntünün f(a) çevresinde bir komşuluk içermesini sağlar. [1][2]
Kullanımı ve sınırları
Teorem, birebir holomorf fonksiyonların ters fonksiyonlarının sürekliliğini ve uygun koşullarda holomorfluğunu incelemekte kullanılır. Sabit fonksiyonlar teoremin dışında kalır: görüntüleri tek bir noktadır ve bu küme karmaşık düzlemde açık değildir. Sonuç, gerçek değişkenli fonksiyonlara genel olarak uygulanamaz. Örneğin x↦x² fonksiyonu, gerçek doğru üzerindeki (-1,1) açık aralığını [0,1) aralığına gönderir; bu görüntü açık değildir. Bu örnek, teoremin her sürekli veya gerçek analitik fonksiyon için değil, karmaşık düzlemdeki sabit olmayan holomorf fonksiyonlar için geçerli olduğunu vurgular. [1]