Apéry sabiti, Riemann zeta fonksiyonunun 3 noktasındaki değer olan ζ(3)’tür. Pozitif tam sayılar üzerinden sonsuz seri biçiminde şöyle yazılır: ζ(3) = Σₙ₌₁∞ 1/n³ = 1 + 1/2³ + 1/3³ + … . Bu yakınsak serinin değeri yaklaşık 1,2020569’dur [1]. Sabit, adını Fransız matematikçi Roger Apéry’den alır.
İrrasyonellik sonucu
Apéry’nin 1978’de kanıtladığı temel sonuç, ζ(3)’ün irrasyonel olmasıdır: sayı iki tam sayının oranı olarak tam biçimde ifade edilemez [2]. Bu, zeta fonksiyonunun her değerinin irrasyonel olduğu anlamına gelmez; sonuç özellikle 3 noktasındaki değer hakkındadır. Daha sonra bu sonucun farklı kanıtları geliştirilmiş, Apéry’nin ispatı da bilgisayar destekli biçimde biçimsel olarak doğrulanmıştır [2].
İrrasyonellik ile aşkınlık farklı özelliklerdir. Bir sayının aşkın olması, herhangi bir sıfır olmayan tam sayı katsayılı polinomun kökü olmaması demektir. Apéry sabitinin irrasyonel olduğu bilinirken aşkın olup olmadığı bilinmemektedir [1]. Dolayısıyla ζ(3)’ün irrasyonelliği kanıtlanmış olsa da, cebirsel olup olmadığına ilişkin soru açık kalır.
Matematikteki yeri
ζ(3), zeta fonksiyonunun özel değerlerini ve bu değerlerin aritmetik özelliklerini inceleyen çalışmalarda yer alır. Apéry’nin sonucu, pozitif tek tam sayılardaki zeta değerlerinin irrasyonelliği probleminde özel bir yere sahiptir: Inria araştırmacılarının biçimsel ispat çalışması, ζ(3)’ün o dönemde irrasyonelliği bilinen tek pozitif tek tam sayı zeta değeri olduğunu aktarır [2]. Sabitin sonsuz seri dışında çeşitli eşitlik ve gösterimleri de vardır [1]. Ancak “Apéry sabiti” adı zeta fonksiyonunun tamamını değil, yalnızca ζ(3) değerini belirtir.