Arf değişmezi, karakteristiği 2 olan cisimlerdeki bazı ikinci dereceden biçimleri ayırt etmeye yarayan cebirsel bir değişmezdir. Adını Türk matematikçi Cahit Arf’tan alır. Değişmezin değer kümesi, hangi cisim ve biçim sınıfının ele alındığına göre değişebilir; bu nedenle onu her durumda yalnızca 0 veya 1 alan bir sayı olarak tanımlamak doğru değildir. [1]
İkinci dereceden biçimlerde
İki elemanlı F₂ cismi üzerindeki uygun, dejenere olmayan bir ikinci dereceden biçim için Arf değişmezi 0 ya da 1 değerini alır. Bu durumda bir semplektik baz eᵢ, fᵢ seçildiğinde değişmez, toplam q(eᵢ)q(fᵢ) terimlerinin mod 2’ye göre toplamıyla hesaplanabilir. Sonuç baz seçiminden bağımsızdır. Aynı boyuttaki bu tür biçimlerin izomorfizma sınıflarını ayırt etmede kullanılır. Daha genel karakteristik 2 cisimlerinde tanım ve değer kümesi bu basit F₂ anlatımından farklı olabilir. Arf’ın çalışmaları, bu karakteristikteki ikinci dereceden biçimlerin incelenmesi açısından önem taşır. [1]
Düğüm teorisindeki kullanımı
Düğüm teorisinde değişmez, düğüme ait Seifert yüzeyinin mod 2 homolojisinde tanımlanan ikinci dereceden biçimden elde edilir. Buradaki Arf değişmezi 0 veya 1’dir ve düğümlerin eşlik (concordance) sınıflarını ayırt etmeye yardımcı olur; tüm düğüm yapısını belirlemez. [2]
Alexander polinomunun −1’deki değerinden hesaplama yapılabilir: mutlak değer 3 veya 5 mod 8 ise değişmez 1, 1 veya 7 mod 8 ise 0’dır. Bu bağıntı, tanımın yerine geçen bir eşitlik değil, hesaplama yoludur. Aynı değere sahip farklı düğümler bulunduğundan, değişmez başka düğüm değişmezleriyle birlikte değerlendirilir. [2]