Asal sayı, 1’den büyük ve yalnızca 1’e ve kendisine bölünebilen pozitif tam sayıdır. Buna göre 2, 3, 5 ve 7 asaldır; 12 asal değildir, çünkü 1 ve 12 dışında pozitif bölenleri de vardır. 1 asal da bileşik de kabul edilmez; 1’den büyük asal olmayan pozitif tam sayılara bileşik sayı denir [1]. Tanımda 1’in dışarıda bırakılması, asal çarpanlara ayırmanın teklik özelliğiyle uyumludur: 1 asal sayı sayılsaydı, bir sayının çarpanlarına sınırsız sayıda 1 eklenebilirdi [1].
Temel özellikler
2, tek çift asal sayıdır. 2’den büyük çift tam sayılar 2’ye bölündüğü için asal olamaz. Aritmetiğin temel teoremine göre her 1’den büyük pozitif tam sayı, asal sayıların çarpımı olarak, çarpanların sırası dışında tek biçimde yazılır [2]. Bu özellik, asal sayıları tam sayıların çarpımsal yapısında temel öğeler hâline getirir. Küçük sayıların asallığı olası bölenleri deneyerek incelenebilir; Eratosthenes kalburu ise belirli bir sınıra kadar asal sayıları bulmak için kullanılan yöntemlerden biridir.
Euclid’in klasik kanıtı asal sayıların sonsuz olduğunu gösterir. Sonlu bir asal listesi olduğu varsayılıp listedeki sayıların çarpımına 1 eklenirse, elde edilen sayı listedeki asalların hiçbirine tam bölünmez. Bu sayı kendisi asal olabilir ya da asal çarpanlara ayrılabilir; her iki durumda da listenin dışında bir asal bulunur. Dolayısıyla sonlu bir liste bütün asalları içeremez [1][2].
Dağılım ve matematikteki rol
Asalların sayı doğrusu üzerindeki dağılımı sayı kuramının temel konularındandır. Asal Sayı Teoremi, x’e eşit veya x’ten küçük asal sayıların sayısını veren π(x) fonksiyonunun, büyük x değerlerinde x/log(x) ile yaklaşık olarak aynı büyüme hızına sahip olduğunu belirtir [2]. Bu, asalların seyrekleşirken sonsuzca sürdüğünü açıklar.