Bölüşüm fonksiyonu, istatistiksel mekanikte bir sistemin mikrodurumlarına ait Boltzmann ağırlıklarının toplamıdır. Kanonik toplulukta Z = Σᵢ exp(−βEᵢ) biçiminde tanımlanır; burada Eᵢ mikrodurumun enerjisi, β = 1/(kBT), kB Boltzmann sabiti ve T mutlak sıcaklıktır. Z, durum olasılıklarının toplamını bire eşitleyen normalleştirme çarpanıdır. Bir enerji değerine birden çok mikrodurum karşılık geliyorsa, toplam bu durumların her birini içerir. [1][2]
Kanonik topluluk
Kanonik topluluk, belirli sıcaklıktaki bir ısı deposuyla enerji alışverişi yapabilen, parçacık sayısı ve hacmi sabit bir sistemi betimler. Bu nedenle sistemin enerjisi değişebilir. Bir mikrodurumun olasılığı pᵢ = exp(−βEᵢ)/Z bağıntısıyla verilir. Kuantum gösteriminde bölüşüm fonksiyonu, Hamiltonyen H kullanılarak Z = Tr[exp(−βH)] şeklinde yazılır. Bu ifade, enerji özdurumları üzerinden alınan toplamla eşdeğerdir. Klasik mekanikte ise uygun sistemlerde durumlar toplamı, faz uzayındaki bir integralle ifade edilebilir. [1][2]
Termodinamik niceliklerle ilişkisi
Bölüşüm fonksiyonu, mikroskobik durumların olasılıklarını düzenlemenin yanı sıra termodinamik büyüklüklerin hesaplanmasını sağlar. Kanonik toplulukta Helmholtz serbest enerjisi F = −kBT ln Z bağıntısıyla elde edilir. Z’nin sıcaklık veya β’ya göre türevleri, ortalama enerji gibi istatistiksel ortalamalar hakkında bilgi verir. Böylece mikrodurumların enerji dağılımı ile sistemin makroskopik davranışı arasında matematiksel bir bağ kurulur. Parçacık alışverişine de izin veren büyük kanonik toplulukta farklı bir, büyük bölüşüm fonksiyonu kullanılır; bu, kanonik Z ile aynı topluluk tanımı değildir. [1][2]