Banach sabit nokta teoremi, boş olmayan tam bir metrik uzay üzerinde tanımlı daraltıcı bir dönüşümün tek bir sabit noktası bulunduğunu ve yinelemeli uygulamanın bu noktaya yakınsadığını belirtir. Sabit nokta, dönüşüm uygulandığında değişmeyen elemandır. Teorem, daralma teoremi veya daralma dönüşümü ilkesi olarak da anılır. Metrik uzayda noktalar arasındaki uzaklık bir metrikle ölçülür; tamlık ise her Cauchy dizisinin uzay içinde bir limite sahip olmasıdır. [1][2]
Teoremin ifadesi
Boş olmayan tam bir metrik uzay (X,d) ve T:X→X dönüşümü için, bir q sabiti 0≤q<1 olacak biçimde her x,y∈X için d(Tx,Ty)≤q·d(x,y) koşulu sağlanırsa, teorem T’nin tek bir p sabit noktası olduğunu söyler: T(p)=p. Ayrıca uzaydan herhangi bir x₀ seçilip xₙ₊₁=T(xₙ) biçiminde yineleme yapılırsa, elde edilen dizi p’ye yakınsar. Bu nedenle sonuç, yalnızca sabit noktanın varlığını ve tekliğini değil, ona yaklaşan yapıcı bir yöntemi de verir. [1][2]
Kanıt ve kullanım
Yinelemede ardışık terimler arasındaki uzaklık her adımda en fazla q çarpanı kadar küçülür. Bu geometrik azalma, dizinin Cauchy olduğunu gösterir. Tamlık, dizinin uzay içinde bir limite yakınsamasını sağlar; dönüşümün sürekliliği limitin sabit nokta olmasına, daralma koşulu ise sabit noktanın tekliğine götürür. [2] Tamlık varsayımı önemlidir: Dublin Üniversitesi’ndeki ders notlarında (0,1) aralığında x↦x/2 daraltıcı olduğu hâlde sabit noktası bulunmayan örnek verilir; uzay bu durumda tam değildir. [2] Teorem, diferansiyel denklemler gibi problemlerde çözüm varlığı ve tekliğini incelemek için de uygulanabilir. Bunun için problem uygun bir fonksiyon uzayında kendi üzerine bir dönüşüm olarak kurulmalı ve bu dönüşümün daralma koşulu sağladığı gösterilmelidir. [1][2]