Cantor’un köşegen yöntemi, bir listenin bütün elemanları içerdiği varsayımını sınayarak listede bulunmayan bir öğe kuran kanıtlama yöntemidir. Gerçek sayıların sayılamazlığını göstermek için kullanılan klasik biçiminde, doğal sayılarla numaralandırılmış listenin gerçek sayıların tamamını içerdiği varsayılır. Sayılabilir küme, elemanları doğal sayılarla eşleştirilebilen, başka bir deyişle böyle bir listeye yerleştirilebilen kümedir [1][2].
Gerçek sayıların sayılamazlığı
0 ile 1 arasındaki gerçek sayılar bir listeye yazılmış olsun. Her sayı, sonsuz basamaklı ondalık gösterimiyle satırlara yerleştirilir. Yeni bir sayı, birinci satırın birinci basamağından, ikinci satırın ikinci basamağından ve genel olarak n’inci satırın n’inci basamağından farklı olacak şekilde oluşturulur. Örneğin köşegen basamağı 1 ise yeni basamağa 2, değilse 1 seçilebilir. Böylece oluşturulan sayı her satırdaki sayıdan en az bir basamakta ayrılır ve varsayılan listede bulunamaz [1][2]. Her liste için bu işlem yapılabildiğinden, 0 ile 1 arasındaki bütün gerçek sayıları sıralayan bir liste yoktur.
Ondalık gösterimlerde dikkat edilmesi gereken bir ayrıntı vardır: sonu sonsuz sayıda 9 ile biten bazı gösterimler, sonu 0’larla biten başka bir gösterime eşittir. Yeni sayı için yalnızca 1 ve 2 gibi uygun basamaklar seçmek, bu çift gösterim sorununu önler. Cambridge ders notları köşegen basamakları değiştirerek yeni sayının listedeki her satırdan farklı olmasını açıklar [1].
Daha genel kullanım
Köşegen fikri yalnızca ondalık sayılara özgü değildir. Bir dizi ya da liste varsayımındaki her konuma karşılık gelen öğeyi, o konumda farklılık oluşturacak biçimde kurmak, listelenebilirlik iddialarını incelemenin genel bir yoludur. Cantor’un gerçek sayılar kanıtı, bu yaklaşımın temel örneklerinden biridir [1][2].