Catalan sabiti, genellikle G harfiyle gösterilen matematiksel sabittir. Dirichlet beta fonksiyonunun 2’deki değerine eşittir ve dönüşümlü seriyle tanımlanır: G = 1 − 1/3² + 1/5² − 1/7² + … . Yaklaşık değeri 0,915965594177219’dur. Adı, sabiti inceleyen Belçikalı matematikçi Eugène Charles Catalan’dan gelir. [1][2]
Tanım ve gösterimler
Seride paydalar pozitif tek sayıların kareleridir; işaretler sırayla artı ve eksi olarak değişir. Bu seri mutlak yakınsaktır; çünkü terimlerin mutlak değerleri tek sayıların karelerinin terslerinden oluşur ve toplamları sonludur. Böylece seri yalnızca koşullu yakınsak değildir. Matematiksel kaynaklarda sabit, Dirichlet beta fonksiyonuyla ve başka özel fonksiyonlarla da ilişkilendirilir. [1]
Bir başka gösterimi belirli integral biçimindedir: G = ∫₀¹ arctan(x)/x dx. Bu eşitlik, arctan fonksiyonunun kuvvet serisini kullanıp terim terim integral alarak elde edilebilir; arctan(x)/x fonksiyonunun x=0’daki değeri süreklilikle tanımlanır. [3]
Matematikteki yeri
Catalan sabiti analiz, sayı kuramı ve kombinatorikte karşılaşılan bazı toplam ve integrallerin değerlerinde ortaya çıkar. Tek sayıların ters karelerinin dönüşümlü toplamı onun temel tanımıdır; başka sonuçlarda sabitin kendisi veya katları yer alabilir. Bu durum, sabitin π gibi her alanda temel bir ölçü olduğu anlamına gelmez. [1][3]
Sabitin ondalık açılımı çok sayıda basamakla hesaplanmıştır; ancak bu açılım tek başına sabitin rasyonel ya da irrasyonel olduğunu kanıtlamaz. İrrasyonellik sorusu çözülmüş değildir. Bu nedenle bilinen sayısal değer ile sabitin aritmetik niteliği birbirinden ayrı tutulmalıdır. [2][3]