Cauchy-Hadamard teoremi, bir kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapını katsayılarının büyüme davranışından belirler. ∑aₙ(z−c)ⁿ serisi için L = limsupₙ→∞ |aₙ|^(1/n) olmak üzere R = 1/L bağıntısı kullanılır. Burada c serinin merkezi, R yakınsaklık yarıçapı ve limsup dizinin limit üstüdür. Katsayıların n’inci köklerinin sıradan bir limite sahip olması gerekmez. [1]
Yakınsaklık bölgeleri
- |z−c| < R olduğunda seri mutlak yakınsar.
- |z−c| > R olduğunda seri ıraksar.
- |z−c| = R sınırındaki noktalar ayrıca incelenir. [1]
L = 0 ise R sonsuzdur; seri her sonlu uzaklıkta yakınsar. L sonsuzsa R = 0 olur ve yakınsaklık yalnızca merkezde gerçekleşir. Karmaşık sayılarda iç bölge bir açık disk, gerçek sayılarda bir açık aralıktır. [1]
Örnek ve yorum
Katsayıları aₙ = 2ⁿ olan ∑2ⁿzⁿ geometrik serisinde |aₙ|^(1/n) = 2 ve R = 1/2 bulunur. Böylece seri |z| < 1/2 bölgesinde yakınsar. z = 1/2 noktasında terimler 1, z = −1/2 noktasında ise dönüşümlü olarak 1 ve −1 olduğundan iki uçta da yakınsama gerçekleşmez.
Teorem kök testine dayanır. Yarıçapı bulmak, sınır noktalarındaki davranışı tek başına belirlemez; tam yakınsaklık kümesi için bu noktalar ayrı değerlendirilir. [1]