Cauchy integral formülü, holomorf bir fonksiyonun bir iç noktadaki değerini, bu noktayı çevreleyen kontur üzerindeki integral aracılığıyla ifade eder. f, pozitif yönlü basit kapalı Γ konturunun üzerinde ve içinde holomorf, z₀ da konturun içindeyse f(z₀) = (1/(2πi)) ∮Γ f(z)/(z−z₀) dz eşitliği geçerlidir. Böylece kontur üzerindeki fonksiyon değerleri, iç noktadaki değeri belirler. [1][2]
Varsayımlar ve türev biçimi
Standart formülde kontur saat yönünün tersine yöneltilir; fonksiyon konturda ve çevrelediği bölgede holomorf olmalıdır. Cauchy integral formülünün genel bir sunumunda, holomorf fonksiyonun kapalı bir diskin tamamında tanımlı olması ve ilgili iç noktanın bu diskin içinde yer alması koşulu kullanılır. Nokta kontur üzerindeyse veya fonksiyon çevrilen bölgede holomorf değilse eşitlik doğrudan bu biçimde uygulanamaz. [1][2]
Formülün türevler için genellemesi, n negatif olmayan bir tam sayı iken f⁽ⁿ⁾(z₀) = n!/(2πi) ∮Γ f(z)/(z−z₀)ⁿ⁺¹ dz biçimindedir. Bu sonuç, holomorf fonksiyonların bütün mertebelerde türevlenebilir olmasıyla ve kuvvet serileriyle bağlantılıdır. Türev formülü, bir kontur integralinden fonksiyonun iç noktadaki türevlerini elde etmeyi sağlar. [2]
Önemi ve teoremle farkı
Cauchy integral formülü, kontur integralleriyle fonksiyon değerleri ve türevleri arasında bağ kurar; karmaşık analizde çeşitli sonuçların ispatında ve integral tahminlerinde kullanılır. Uygun bir kontur seçildiğinde, iç noktadaki değer ya da türev hesaplanabilir. [1][2]
Bu formül Cauchy integral teoremiyle yakından ilişkilidir, ancak iki sonuç aynı şeyi söylemez. İntegral teoremi uygun koşullarda holomorf fonksiyonun kapalı kontur integralini sıfır olarak verir; integral formülü ise integrandda 1/(z−z₀) çekirdeğini kullanarak iç noktadaki f değerini belirler. Bu nedenle formülün uygulanması, noktanın kontura göre konumuna ve holomorfluk varsayımlarına bağlıdır. [1][2]