Eliptik integral, kökü üçüncü veya dördüncü dereceden bir polinom olan cebirsel ifadelerle ilişkili integral türlerinin genel adıdır. Bu integraller tarihsel olarak elips yay uzunluğu hesabında ortaya çıktıkları için böyle adlandırılmıştır; ancak günümüzde kapsamı bu geometrik örneğin ötesine geçer. NIST’in Dijital Matematiksel Fonksiyonlar El Kitabı, genel tanımı ve Legendre’nin standart biçimlerini ayrı ayrı ele alır. [1][2]
Tanım ve standart türler
NIST tanımında, kökü kübik ya da dördüncü dereceden polinomla verilen ve uygun rasyonel çarpan içeren integraller eliptik integrallerin genel çerçevesini oluşturur. Bir integralin bu aileye girmesi, her durumda tek bir özel formda yazılacağı anlamına gelmez; standart biçimlere indirgeme yöntemleri kullanılır. [1][2]
Legendre gösteriminde integraller birinci, ikinci ve üçüncü tür olarak sınıflandırılır. Değişken üst sınırlı olanlar eksik, özel olarak sabitlenmiş sınırla tanımlananlar tam integrallerdir. Birinci türün eksik biçimi, örneğin, NIST’te sinüs ve karekök içeren belirli integral olarak tanımlanır. İkinci tür ayrı bir integrand yapısına, üçüncü tür ise ek bir parametreye sahiptir. Bu tür adları, farklı integral biçimlerini ayırt eder; her uygulamanın aynı formüle sahip olduğunu göstermez. [1]
Geometri ve uygulamalar
Elips çevresi ve yay uzunluğu, eliptik integrallerin klasik geometrik örneklerindendir. Ayrıca doğrusal olmayan hareket denklemlerinin çözümünde de karşımıza çıkarlar; örneğin basit sarkacın tam hareket çözümü birinci tür eliptik integralle ifade edilebilir. Eliptik integral ile eliptik fonksiyon yakından bağlantılı olsa da aynı kavram değildir: eliptik fonksiyonlar, uygun eliptik integrallerin terslenmesiyle elde edilen fonksiyonlar olarak ele alınabilir. Bu konu matematiksel analiz, geometri ve uygulamalı hesaplamalarda önem taşır. [2]