Süreklilik, matematikte bir fonksiyonun bir noktadaki değeriyle o noktaya yaklaşılırken aldığı değerlerin uyumunu belirten özelliktir. Gerçek değerli bir fonksiyonun a noktasında sürekli olması için f(a) tanımlı olmalı, x değeri a'ya yaklaşırken fonksiyonun limiti bulunmalı ve bu limit f(a)'ya eşit olmalıdır. Bu koşullardan birinin sağlanmaması sürekliliği bozar.[1]
NOKTADA VE ARALIKTA SÜREKLİLİK
Süreklilik önce tek bir noktada, sonra bir aralık boyunca incelenebilir. Açık bir aralıkta her noktada sürekli olan fonksiyon, o aralıkta süreklidir. Kapalı aralıkta iç noktalardaki sürekliliğe ek olarak uç noktalarda aralığın içinden alınan tek yönlü limitler kullanılır. Polinomlar bütün gerçek sayılarda, rasyonel fonksiyonlar ise tanımlı oldukları noktalarda süreklidir.[1]
SÜREKSİZLİKLER
Bazı süreksizliklerde limit vardır, ancak fonksiyonun nokta değeri tanımlanmamıştır veya limitten farklıdır. Bu durumda uygun bir nokta değeri seçilerek giderilebilen süreksizlik söz konusudur. Sağ ve sol limitlerin farklı sonlu değerlere ulaşması sıçrama süreksizliği oluşturur. Fonksiyonun bir taraftan sınırsız büyümesiyle ilişkili sonsuz süreksizlikler de bulunur; bütün süreksizlikler yalnız bu örneklerle sınırlı değildir.[1]
TÜREV VE ARA DEĞER İLİŞKİSİ
Bir fonksiyon bir noktada türevlenebiliyorsa o noktada süreklidir. Ancak bunun tersi geçerli değildir: süreklilik, türevin mutlaka var olmasını gerektirmez. Örneğin f(x)=|x| fonksiyonu sıfırda süreklidir; buna karşılık sıfırın iki yanındaki eğimler farklı olduğu için aynı noktada türevi yoktur. Bu örnek, grafikte kopukluk bulunmamasıyla düzgün bir teğet eğiminin bulunmasının farklı koşullar olduğunu gösterir.[2]
Ara değer teoremi, kapalı bir aralıkta sürekli olan gerçek değerli fonksiyonun uç değerler arasındaki her değeri en az bir noktada aldığını söyler. Özellikle uçlardaki değerler ters işaretliyse arada en az bir kök bulunur. Teorem kökün yerini doğrudan hesaplamaz; uygun koşullar altında varlığını güvence altına alır.[1]